问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=2x-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）过点（2，2）能作几条直线与曲线y=f（x）相切？说明理由．
答案
（1）f′（x）=3ax2+b，由题知…（1分）
⇒f′(1)=2 f(1)=2-2=0
⇒3a+b=2 a+b=0 a=1 b=-1
∴f（x）=x3-x…（5分）
（2）设过点（2，2）的直线与曲线y=f（x）相切于点（t，f（t）），则切线方程为：y-f（t）=f′（t）（x-t）
即y=（3t2-1）x-2t3…（7分）
由切线过点（2，2）得：2=（3t2-1）•2-2t3，过点（2，2）可作曲线y=f（x）的切线条数就是方程t3-3t2+2=0的实根个数…（9分）
令g（t）=t3-3t2+2，则g′（t）=3t（t-2）
由g′（t）=0得t1=0，t2=2
当t变化时，g（t）、g′（t）的变化如下表
| t | （-∞，0） | 0 | （0，2） | 2 | （2，+∞） |
| g′（t） | + | 0 | - | 0 | + |
| g（t） | ↗ | 极大值2 | ↘ | 极小值-2 | ↗ |