（Ⅰ）由函数f（x）的图象过点A（e，e），所以em+n=e，①

f′（x）=mlnx+m+

n

x

，所以2m+

n

e

=2，②

联立①②解得m=1，n=0，

所以f（x）=xlnx．

（Ⅱ）由题意知，g′（x）=x²+ax+6，

f（x）≤g′（x），即xlnx≤x²+ax+6，

故a≥lnx-x-

6

x

对任意x∈（0，+∞）成立，

令h（x）=lnx-x-

6

x

（x＞0），

则h′（x）=

1

x

-1+

6

x2

=

-x2+x+6

x2

=-

x2-x-6

x2

=-

(x+2)(x-3)

x2

．

令h′（x）=0，因为x＞0，则x=3，

当0＜x＜3时，h′（x）＞0，当x＞3时，h′（x）＜0，

∴x=3时h（x）取最大值，h（x）_max=ln3-5．

故a≥ln3-5．所以实数a的取值范围为[ln3-5，+∞）．

（III）函数的定义域为（0，+∞）

求导函数，可得f'（x）=lnx+1，…（1分）

当x∈（0，

1

e

），f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当x∈（

1

e

，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，

①当t＜

1

e

＜2t时，即

1

2e

＜t＜

1

e

时，f（x）min=f（

1

e

）=-

1

e

； 

②当t≥

1

e

时，f（x）在[t，2t]上单调递增，f（x）_min=f（t）=tlnt；

③当2t≤

1

e

时，0＜t≤

1

2e

时，f（x）在[t，2t]上单调递减，f（x）_min=f（2t）=2tln2t；          

所以f（x）_min=

tlnt，t≥ 1 e - 1 e ， 1 2e ＜t＜ 1 e 2tln2t，t≤ 1 2e

．