（Ⅰ）由题意可得：f（x）=x³-2x²+x，、

所以f'（x）=3x²-4x+1，

令f'（x）≥0得3x²-4x+1≥0，解得x≤

1

3

或x≥1

故f（x）的增区间(-∞，

1

3

]和[1，+∞）（4分）

（Ⅱ）由题意可得：f'（x）=3x²-2（a+b）x+ab，

并且当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤

3

2

．（5分）

故有-

3

2

≤f'（1）≤

3

2

，-

3

2

≤f'（-1）≤

3

2

，及-

3

2

≤f'（0）≤

3

2

，（6分）

即

- 3 2 ≤3-2(a+b)+ab≤ 3 2 …① - 3 2 ≤3+2(a+b)+ab≤ 3 2 …② - 3 2 ≤ab≤ 3 2 …③

…（8分）

①+②，得-

9

2

≤ab≤-

3

2

，…（8分）   

又由③，得ab=-

3

2

，将上式代回①和②，得a+b=0，

故f(x)=x3-

3

2

x．（10分）

（Ⅲ）假设

OA

⊥

OB

，即

OA

•

OB

=（s，f（s））•（t，f（t））=st+f（s）f（t）=0（11分）

所以有：（s-a）（s-b）（t-a）（t-b）=-1[st-（s+t）a+a²][st-（s+t）b+b²]=-1，…（11分）

由s，t为f'（x）=0的两根可得，s+t=

2

3

（a+b），st=

1

3

，（0＜a＜b）

从而有ab（a-b）²=9．…（12分）

这样(a+b)2=(a-b)2+4ab=

9

ab

+4ab≥2

36

=12

即 a+b≥2

3

，这与a+b＜2

3

矛盾．…（14分）

故

OA

与

OB

不可能垂直．…（16分）