问题
解答题
已知函数f（x）=ln（x+1）满足0＜f（1-2x）-f（x）＜1．
（1）求x的取值范围；
（2）若g（x）是偶函数且满足g（x+2）=g（x），当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），求g（x） 在x∈[1，2]上的解析式．
答案
（1）由于函数f（x）=ln（x+1），故f（1-2x）=ln（2-2x），
故f（1-2x）-f（x）=ln
，∴0＜ln2-2x 1+x
＜1，2-2x 1+x
∴
，即 x+1＞0 2-2x＞0 e＞
＞12-2x 1+x
，即 -1＜x＜1
＞12-2x 1+x
＜e2-2x 1+x
，解得-1＜x＜-1＜x＜1
＜03x-1 1+x
＞0(2+e)x-(2-e) x+1
，2-e 2+e
故x的取值范围为（-1，
）．2-e 2+e
（2）若g（x）是偶函数且满足g（x+2）=g（x），故函数g（x）是周期等于2的函数．
∵当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），当-1≤x≤0时，有g（x）=f（-x）=ln（1-x），
故g（x） 在x∈[1，2]上的解析为 ln（1-x+2）=ln（3-x）．