问题
解答题
已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数，且当x∈[1，2]时，该函数的值域为[-2，1]．求函数f（x）的解析式．
答案
∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是定义在R上的偶函数，
∴f（x）=f（-x），即-ax3+bx2-cx+d=ax3+bx2+cx+d
∴ax3+cx=0恒成立，
故f（x）=bx2+d．（4分）
当b=0时，由函数f（x）的值域不是常数知不合题意；（5分）
当b＞0，x∈[1，2]时f（x）单调递增，又f（x）值域为[-2，1]，
所以
⇒f(1)=-2 f(2)=1
⇒b+d=-2 4b+d=1
．（9分）b=1 d=-3
当b＜0，同理可得
⇒f(1)=1 f(2)=-2
⇒b+d=1 4b+d=-2
，（12分）b=-1 d=2
所以f（x）=x2-3或f（x）=-x2+2．（13分）