问题
解答题
| 已知二次函数g（x）对任意实数x都满足g（x-1）+g（1-x）=x2-2x-1，且g（1）=-1． （1）求g（x）的表达式； （2）设1＜m≤e，H（x）=g（x+
（3）在（2）的条件下，证明：对任意x1，x2∈[1，m]，恒有|H（x1）-H（x2）|＜1． |
答案
（1）设g（x）=ax2+bx+c
于是g（x-1）+g（1-x）=2a（x-1）2+2c=（x-1）2-2
所以a= 1 2 c=-1
又g（1）=-1
所以b=-1 2
所以g(x)=
x2-1 2
x-1 1 2
（2）H(x)=
x2+mlnx-(m+1)x， (1＜m≤e) 1 2
因为对∀x∈[1，m]，
H′(x)=
≤0(x-1)(x-m) x
故H（x）在[1，m]上为减函数
（3）由（2）得：H（x）在[1，m]上为减函数则：
|H（x1）-H（x2）|＜1⇐
m2-lnm-1 2
＜1⇔1 2
m-lnm-1 2
＜03 2m
记h(m)=
m-lnm-1 2
(1＜m≤e)，3 2m
则h′(m)=
-1 2
+1 m
=3 2m2
(3 2
-1 m
)2+1 3
＞01 3
所以h(m)=
m-lnm-1 2
(1＜m≤e)是单调增函数，3 2m
所以h(m)≤h(e)=
-1-e 2
=3 2e
＜0，故命题成立(e-3)(e+1) 2e