问题
解答题
设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.
答案
∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P,
∴P的坐标为P(0,d).又曲线在点P处的切线方程为y=12x-4,
P点坐标适合方程,从而d=-4.
又切线斜率k=12,故在x=0处的导数y′|x=0=12,
而y′=3ax2+2bx+c,y′|x=0=c,从而c=12.
又函数在x=2处取得极值0,所以
,即y′ x=2=0 f(2)=0 12a+4b+12=0 8a+4b+20=0
解得a=2,b=-9.
∴所求函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4.