问题 解答题

设函数y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.

答案

∵y=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴的交点为P,

∴P的坐标为P(0,d).又曲线在点P处的切线方程为y=12x-4,

P点坐标适合方程,从而d=-4.

又切线斜率k=12,故在x=0处的导数y′|x=0=12,

而y′=3ax2+2bx+c,y′|x=0=c,从而c=12.

又函数在x=2处取得极值0,所以

y′ x=2=0
f(2)=0
,即
12a+4b+12=0
8a+4b+20=0

解得a=2,b=-9.

∴所求函数解析式为y=2x3-9x2+12x-4.

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