已知关于x的二次函数f（x）=ax2-4bx+1（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，

问题解答题

已知关于x的二次函数f（x）=ax²-4bx+1
（Ⅰ）设集合P={1，2，3}，集合Q={-1，1，2，3，4}，从集合P中随机取一个数作为a，从集合Q中随机取一个数作为b，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率；
（Ⅱ）设点（a，b）是区域

x+y-8≤0

x＞0

y＞0

内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

答案

解（Ⅰ）∵函数f（x）=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=

，

要使f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

当且仅当a＞0且x=

≤1，

即2b≤a．

若a=1，则b=-1；

若a=2，则b=-1，1；

若a=3，则b=-1，1，

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

∴所求事件的概率为

．

（Ⅱ）由（1）知当且仅当2b≤a．且a＞0时，

函数f（x）=ax²-4bx+1在区间[1，+∞）上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)|

a+b-8≤0

a＞0

b＞0

}

构成所求事件的区域为三角形部分．

由

a+b-8=0

，解得a=

，b=

，即交点坐标（

，

），

∴所求事件的概率为P=

×8×

×8×8

．