问题 解答题
已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1.
(1)设集合P={-1,2,3}和Q={-2,1,2},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率;
(2)设点(a,b)是区域
x+y-6≤0
x>0
y>0
内的随机点,求函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.
答案

(1)分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,有(-1,-2)、(-1,1)、(-1,2)、

(2,-2)、(2,1)、(2,2)、(3,-2)、(3,1)和(3,2)共9个基本事件.

∵二次函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=

2b
a
,要使函数f(x)=ax2-4bx+1在区间

[1,+∞)上为增函数,当且仅当a>0且

2b
a
≤1成立,即a>0且2b≤a.

若a=2,则b=-2或1;若a=3,则b=-2或1.

由此可得满足条件的基本事件包含基本事件的个数是2+2=4.

∴函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率为P=

4
9

(2)由(1)知当且仅当a>0且2b≤a时,函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.

根据题意全部结果所构成的区域为满足不等式

x+y-6≤0
x>0
y>0
的实数对(a,b)构成的集合,相应的区域为如右图的△OAB及其内部.

其中符合“函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”的实数对(a,b),满足不等式

a+b-6<0
a>0且b>0
2b≤a
,相应的区域为如右图的△OAC及其内部.

∵A(6,0),B(0,6),C(4,2),

∴S△OAB=

1
2
×6×6=18,S△OAC=
1
2
×6×2=6

∴所求事件的概率为P=

S△OAC
S△OAB
=
6
18
=
1
3

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