问题
解答题
已知关于x的二次函数f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合P={-1,2,3}和Q={-2,1,2},分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率; (2)设点(a,b)是区域
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答案
(1)分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b,有(-1,-2)、(-1,1)、(-1,2)、
(2,-2)、(2,1)、(2,2)、(3,-2)、(3,1)和(3,2)共9个基本事件.
∵二次函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为x=
,要使函数f(x)=ax2-4bx+1在区间2b a
[1,+∞)上为增函数,当且仅当a>0且
≤1成立,即a>0且2b≤a.2b a
若a=2,则b=-2或1;若a=3,则b=-2或1.
由此可得满足条件的基本事件包含基本事件的个数是2+2=4.
∴函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率为P=
;4 9
(2)由(1)知当且仅当a>0且2b≤a时,函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数.
根据题意全部结果所构成的区域为满足不等式
的实数对(a,b)构成的集合,相应的区域为如右图的△OAB及其内部.x+y-6≤0 x>0 y>0
其中符合“函数f(x)在区间[1,+∞)上是增函数”的实数对(a,b),满足不等式
,相应的区域为如右图的△OAC及其内部.a+b-6<0 a>0且b>0 2b≤a
∵A(6,0),B(0,6),C(4,2),
∴S△OAB=
×6×6=18,S△OAC=1 2
×6×2=61 2
∴所求事件的概率为P=
=S△OAC S△OAB
=6 18
.1 3