问题
解答题
已知函数f（x）=x3+a•x2+bx+c的图象上的一点M（1，m）处的切线的方程为y=2，其中a，b，c∈R．
（1）若a=-3，求f（x）的解析式，并表示成f（x）=（x+t）3+k，（t，k为常数）；
（2）问函数y=f（x）是否有单调减区间，若存在，求单调减区间（用a表示），若不存在，请说明理由．
答案
（本小题满分12分）
（1）f′（x）=3x2+2a•x+b⇒f′（1）=3+2a+b=0
由∵m=2⇒f（1）=1+a+b+c=2∵a=-3⇒b=3，c=1，f（x）=x3-3x2+3x+1=（x-1）3+2…（4分）
（2）f′（x）=3x2+2a•x+b由（1）知b=-2a-3
所以 f′(x) =3x2+2a•x-(2a+3)=3(x+
)•(x-1)…（6分）2a+3 3
令f′(x) =0⇒x=-
，x=1…（8分）2a+3 3
当-
=1⇔a=-3即f′（x）=3（x-1）2≥02a+3 3
∵f（x）为R上为增函数，所以函数没有单调减区间； …（9分）
当-
＞1⇔a＜-3时，可以判定f（x）单调减区间为(1，-2a+3 3
)…（10分）2a+3 3
当-
＜1⇔a＞-3时，可以判定f（x）单调减区间为(-2+3a 3
，1)…（11分）2a+3 3
综上：a=-3，函数没有单调减区间；a＜-3，f（x）单调减区间为(1，-
)；2a+3 3
a＞-3，f（x）单调减区间为(-
，1)．…（12分）2a+3 3