问题
解答题
某企业有一条价值为m万元的生产流水线，要提高其生产能力，提高产品的产值，就要对该流水线进行技术改造，假设产值y万元与投入的改造费用x万元之间的关系满足：①y与（m-x）x2成正比；②当x=
（1）设y=f（x），求出f（x）的表达式； （2）求产值y的最大值，并求出此时x的值． |
答案
（1）∵y与（m-x）x2成正比，∴设y=f（x）=k（m-x）x2，又x=
时，y=m 2 m3 2
∴解得k=4，从而有y=4（m-x）x2…（2分）
由0≤
≤a解得0≤x≤x 4(m-x) 4am 1+4a
故f（x）=4（m-x）x2(0≤x≤
)…（4分）4ma 1+4a
（2）∵f（x）=4mx2-4x3，∴f'（x）=4x（2m-3x）
令f'（x）=0解得x1=0，x2=
m…（5分）2 3
（ⅰ） 若，即
≤a≤2，当x∈（0，1 2
m)时，f'（x）＞02 3
所以f（x）在[0，
m]上单调递增；2 3
当
＜x＜2m 3
时，f'（x）＜0，由于f（x）在[4am 1+4a
，2m 3
]上单调递减，4am 1+4a
故当x=
m时，f（x）取得最大值f(2 3
m)=2 3
m3…（8分）16 27
（ⅱ） 若
＜4am 1+4a
m，即0≤a＜2 3
时，当x∈（0，1 2
)时，4am 1+4a
由于f'（x）＞0，∴f（x）在[0，
]上单调递增，4am 1+4a
故f(x)max=f(
)=4am 1+4a
…（11分）64a2m3 (1+4a)3
综上可知：0≤a＜
时，产值y的最大值为1 2
，此时投入的技术改造费用为64a2m3 (1+4a)3
；当4am 1+4a
≤a≤2时，产值y的最大值为1 2
m3，此时投入的技术改造费用为16 27
m．…（12分）2 3
