问题
解答题
1、已知函数f(x)=ax+
求证：（1）函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数； （2）方程f（x）=0没有负数根． |
答案
证明：（1）设-1＜x1＜x2，
∴f(x1)-f(x2)=ax1+
-ax2-x1-2 x1+1 x2-2 x2+1
=ax1-ax2+
-x1-2 x1+1
=ax1-ax2+x2-2 x2+1
，3(x1-x2) (x1+1)(x2+1)
∵-1＜x1＜x2，∴x1+1＞0，x2+1＞0，x1-x2＜0，
∴
＜0；3(x1-x2) (x1+1)(x2+1)
∵-1＜x1＜x2，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
∴函数f（x）在（-1，+∞）上为增函数；
（2）假设x0是方程f（x）=0的负数根，且x0≠-1，则ax0+
=0，x0-2 x0+1
即ax0=
=2-x0 x0+1
=3-(x0+1) x0+1
-1，①3 x0+1
当-1＜x0＜0时，0＜x0+1＜1，∴
＞3，3 x0+1
∴
-1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；3 x0+1
当x0＜-1时，x0+1＜0，∴
＜0，∴3 x0+1
-1＜-1，而ax0＞0．3 x0+1
∴①式不成立．综上所述，方程f（x）=0没有负数根．