（1）∵函f（x）的最大值是2，

∴A=2，又函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）的图象经过点M（

π

3

，1），

∴2sin（

π

3

+φ）=1，

即sin（

π

3

+φ）=

1

2

，

∵0＜φ＜π，

∴φ=

π

2

，

∴f（x）=2sin（x+

π

2

）=2cosx…（5分）

（2）g（x）=f（x+α）+f（x+α-

π

2

）

=2cos（x+α）+2cos（x+α-

π

2

）

=2cos（x+α）+2sin（x+α）

=2

2

sin（x+α+

π

4

），

∵其图象关于直x=x₀对称，

∴sin（x₀+α+

π

4

）=±1，

∴x₀+α+

π

4

=kπ+

π

2

（k∈Z），即 x₀=kπ-α+

π

4

，（k∈Z），

又∵tanα=3，

∴tanx₀=tan（kπ-α+

π

4

）=tan（

π

4

-α）=

1-tanα

1+tanα

=-

1

2

…（14分）