（1）由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）为奇函数，

∴f（-x）=-f（x），代入得，b=0

∴f′（x）=3ax²+c，且f（x）在x=1取得极大值2．

∴

f′(1)=0 f(1)=2

⇒

3a+c=0 a+c=2.

解得a=-1，c=3，∴f（x）=-x³+3x

（2）∵g（x）=-x²+3+（k+1）lnx，

∴g′(x)=-2x+(k+1)

1

x

=

-2x2+(k+1)

x

因为函数定义域为（0，+∞），所以

①当k=-1时，g'（x）=-2x＜0，

函数在（0，+∞）上单调递减；

②当k＜-1时，k+1＜0，∵x＞0，

∴g′(x)=

-2x2+(k+1)

x

＜0．

∴函数在（0，+∞）上单调递减；

③k＞-1时，k+1＞0，令g'（x）＞0，得

-2x2+(k+1)

x

＞0，

∵x＞0，

∴-2x²+（k+1）＞0，得-

k+1 2

＜x＜

k+1 2

，

结合x＞0，得0＜x＜

k+1 2

；

令g'（x）＜0，得

-2x2+(k+1)

x

＜0，同上得2x²＞（k+1），x＞

k+1 2

，

∴k＞-1时，单调递增区间为（0，

k+1 2

），

单调递减区间为（

k+1 2

，+∞）

综上，当k≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；

当k＞-1时，函数的单调递增区间为（0，

k+1 2

），

单调递减区间为（

k+1 2

，+∞）