∵当x=

1

k

时，

x2

1+x2

=

1

1+k2

，

当x=k时，

x2

1+x2

=

k 2

1+k2

，

故这两值相加得：

1

1+k 2

+

k 2

1+k2

=1，

∴当x依次取1，2，3，…2009，

1

2

，

1

3

，

1

4

，…，

1

2009

时，

原式=

1

2

+

4

5

+

9

10

+…+

2009 2

1+2009 2

+

1

5

+

1

10

+…+

1 2009 2

1+ 1 2009 2

，

=

1

2

+（

4

5

+

1

5

）+（

9

10

+

1

10

）+…+（

2009 2

1+2009 2

+

1 2009 2

1+ 1 2009 2

），

=

1

2

+1+1+…1，

=2008

1

2

．