对于函数f(x)=x-1x+1，设f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x

问题解答题

对于函数f(x)=

x-1

x+1

，设f1(x)=f(x)，f2(x)=f[f1(x)]，f₃（x）=f[f₂（x）]，…，f_n+1（x）=f[f_n（x）]，（n∈N*）．
（1）写出f₂（x），f₃（x），f₄（x），f₅（x）的表达式；
（2）根据（I）的结论，请你猜想并写出f_4n-1（x）的表达式；
（3）若x∈C，求方程f₂₀₁₀（x）=x的解集．

答案

解（1）∵f(x)=1-

x+1

∴f2(x)=1-

f(x)+1

=1-

x+1

，f3(x)=

1+x

1-x

，

f₄（x）=x，f₅（x）=f（x）=

x-1

x+1

；

（2）根据（I）知：f_n（x）是以4为周期；

∴f4n-1(x)=f3(x)=

1+x

1-x

；

（3）∵f_n（x）是以4为周期，∴f₂₀₁₀（x）=f₂（x）=-

∴-

=x，∴x²=-1，

∴原方程的解集为{i，-i}．