f（x）=ax²-2x+1的对称轴为x=

1

a

，

∵

1

3

≤a≤1，∴1≤

1

a

≤3，

∴f（x）在[1，3]上，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．

∵f（x）=ax²-2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），

∴①当1≤

1

a

≤2，即

1

2

≤a≤1时，

M（a）=f（3）=9a-5，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．

g（a）=M（a）-N（a）=9a+

1

a

-6．

②当2≤

1

a

≤3，即

1

3

≤a＜

1

2

时，

M（a）=f（1）=a-1，N（a）=f（

1

a

）=1-

1

a

．

g（a）=M（a）-N（a）=a+

1

a

-2．

∴g（a）=

9a+ 1 a -6， 1 2 ≤a≤1 a+ 1 a -2， 1 3 ≤a＜ 1 2

．