作出不等式组

x+y≥2 x+2y≤4 y≥1

表示的平面区域，

得到如图所示的△PQN及其内部，

其中Q（1，1），P（2，1），N（0，2）

根据题意，当点E与N重合，且直线m与经过E点的直径垂直时，

线段AC长取到最小值，

∵M（1，0），得|MN|=

(1-0)2+(0-2)2

=

5

∴线段AC长最小时，|AC|=2

r2-|MN|2

=6

∵BD、AC互相垂直，线段AC长最小时BD为直径

∴四边形ABCD的面积为S=

1

2

|AC|•|BD|=

1

2

×6×2

14

=6

14

即当AC取最小值时，四边形ABCD的面积为6

14

故选：D