（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0），

∴f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），

依题意又-1和2是方程3ax²+2bx-a²=0的两根，

∴

1=- 2b 3a -2=- a 3

，解得

a=6 b=-9

，

∴f（x）=6x³-9x²-36x（经检验，适合）…3′

（Ⅱ）∵f′（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），依题意，x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，

∵x₁x₂=-

a

3

＜0且|x₁|+|x₂|=2

2

，

∴(x1-x2)2=8．

∴(-

2b

3a

)2+

4a

3

=8，

∴b²=3a²（6-a），

∵b²≥0，

∴0＜a≤6．

设p（a）=3a²（6-a），则p′（a）=-9a²+36a．

由p′（a）＞0得0＜a＜4，由p′（a）＜0得a＞4，

即p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，

∴当a=4时p（a）有极大值96．

∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，

∴b的最大值为4

6

．-----（9分）

（Ⅲ）证明：∵x₁、x₂是方程f′（x）=0的两个根，

∴f′（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．

∵x₁x₂=-

a

3

，x₂=a，

∴x₁=-

1

3

．

∴|g（x）|=|3a（x+

1

3

）（x-a）-a（x+

1

3

）|=|a（x+

1

3

）[3（x-a）-1]|，

∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a，

∴|g（x）|=a（x+

1

3

）（-3x+3a+1）

=-3a（x+

1

3

）（x-

3a+1

3

）

=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a²+

1

3

a

≤

3a3

4

+a²+

1

3

a

=

a(3a+2)2

12

．

|g（x）|_max=

a(3a+2)2

12

，当且仅当x=

a

2

时取“=”…15′