问题
解答题
已知函数y=kx与y=x2+2（x≥0）的图象相交于A（x1，y1），B（x2，y2），l1，l2分别是y=x2+2（x≥0）的图象在A，B两点的切线，M，N分别是l1，l2与x轴的交点．
（I）求k的取值范围；
（II）设t为点M的横坐标，当x1＜x2时，写出t以x1为自变量的函数式，并求其定义域和值域；
（III）试比较|OM|与|ON|的大小，并说明理由（O是坐标原点）．
答案
（I）由方程
消y得x2-kx+2=0．①y=kx y=x2+2
依题意，该方程有两个正实根，
故
解得k＞2△=k2-8＞0 x1+x2=k＞0
．2
（II）由f′（x）=2x，求得切线l1的方程为y=2x1（x-x1）+y1，
由y1=x12+2，并令y=0，得t=
-x1 2
，x1，x2是方程①的两实根，1 x1
且x1＜x2，故x1=
=k- k2-8 2
，k＞24 k+ k2-8
，2
x1是关于k的减函数，所以x1的取值范围是(0，
)．2
t是关于x1的增函数，定义域为(0，
)，所以值域为（-∞，0）．2
（III）当x1＜x2时，由（II）可知|OM|=|t|=-
+x1 2
．1 x1
类似可得|ON|=
-x2 2
．|OM|-|ON|=-1 x2
+x1+x2 2
．x1+x2 x1x2
由①可知x1x2=2．
从而|OM|-|ON|=0．
当x2＜x1时，有相同的结果|OM|-|ON|=0．
所以|OM|=|ON|．