问题
解答题
已知函数y=kx与y=x2+2(x≥0)的图象相交于A(x1,y1),B(x2,y2),l1,l2分别是y=x2+2(x≥0)的图象在A,B两点的切线,M,N分别是l1,l2与x轴的交点.
(I)求k的取值范围;
(II)设t为点M的横坐标,当x1<x2时,写出t以x1为自变量的函数式,并求其定义域和值域;
(III)试比较|OM|与|ON|的大小,并说明理由(O是坐标原点).
答案
(I)由方程
消y得x2-kx+2=0.①y=kx y=x2+2
依题意,该方程有两个正实根,
故
解得k>2△=k2-8>0 x1+x2=k>0
.2
(II)由f′(x)=2x,求得切线l1的方程为y=2x1(x-x1)+y1,
由y1=x12+2,并令y=0,得t=
-x1 2
,x1,x2是方程①的两实根,1 x1
且x1<x2,故x1=
=k- k2-8 2
,k>24 k+ k2-8
,2
x1是关于k的减函数,所以x1的取值范围是(0,
).2
t是关于x1的增函数,定义域为(0,
),所以值域为(-∞,0).2
(III)当x1<x2时,由(II)可知|OM|=|t|=-
+x1 2
.1 x1
类似可得|ON|=
-x2 2
.|OM|-|ON|=-1 x2
+x1+x2 2
.x1+x2 x1x2
由①可知x1x2=2.
从而|OM|-|ON|=0.
当x2<x1时,有相同的结果|OM|-|ON|=0.
所以|OM|=|ON|.