问题
解答题
已知点P在曲线C：y=
（1）求f（t）的解析式； （2）设数列{an}满足a1=1，an=f(
（3）在 （2）的条件下，当1＜k＜3时，证明不等式a1+a2+…+an＞
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答案
（1）∵y=
，1 x
∴y′=-
，1 x2
∴切线方程为y-
=-1 t
(x-t)，1 t2
与y=kx联立得：xA=
，令y=0，得：xB=2t，2t kt2+1
∵f（t）=xA•xB，
∴f(t)=
（k＞0，t＞1）．4t2 kt2+1
（2）由an=f(
)得：an=an-1
，4an-1 kan-1+1
=1 an
=kan-1+1 4an-1
•1 4
+1 an-1
，k 4
设bn=
-1 an
，k 3
则bn=
-1 an
=k 3
(1 4
-1 an-1
)=k 3
bn-1，1 4
∵a1=1，
∴①当k=3时，b1=
-1=0，1 a1
∴{bn}是以0为首项的常数数列，
∴an=1．
②当k≠3时，{bn}是以1-
为首项，k 3
为公比的等比数列，1 4
∴bn=(1-
)(k 3
)n-1，1 4
解得an=
，3•4n-1 k•4n-1+3-k
由①②，得an=
．3•4n-1 k•4n-1+3-k
（3）∵an-
=3 k
-3•4n-1 k•4n-1+3-k 3 k
=3k-9 k(k•4n-1+3-k)
=
，3k-9 k2•4n-1+k(3-k)
∵1＜k＜3，
∴an-
＞3 k
•3k-9 k2
，1 4n-1
∴a1+a2+…+an-3n-8k k
=（a1-
）+（a2-3 k
）+…+（an-3 k
）3 k
=
(1+3k-9 k2
+…+1 4
)+81 4n-1
=
[1-(4(k-3) k2
)n]+81 4
＞
+84(k-3) k2
=
，4(2k+3)(k-1) k2
∵1＜k＜3，
∴
＞0．4(2k+3)(k-1) k2
∴a1+a2+…+an＞
．3n-8k k
