（1）由题设条件，设A（-x₀，0），B（3x₀，0）（x₀＞0），

则x0=

m+1

2

，

∴由A（-x₀，0），知(-

m+1

2

)2-(m+1)×(-

m+1

2

)-m-2=0，

即3m²+2m-5=0，

解得m=1，或m=-

5

3

（舍）．

∴这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3．

（2）在抛物线的对称轴上存在这样的点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似．∵这个二次函数的解析式为y=x²-2x-3，

∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），

对称轴为直线x=1．

∵过点A的直线y=

1

2

x+

1

2

与抛物线交于点E，

∴

y=x2-2x-3 y= 1 2 x+ 1 2

，

解得

x=1 y=0

或

x= 7 2 y= 9 4

，

∴点E的坐标为（

7

2

，

9

4

）．

过点E作EH⊥x轴于H

在Rt△AEH中，可求AE=

9

4

5

．

若对称轴与直线y=

1

2

x+

1

2

交于点P，

∴P点坐标为（1，1）

∵对称轴与x轴垂直，交点为点M，

∴在Rt△BMD中，可求BD=2

5

，

在Rt△APM中，tan∠PAM=

PM

AM

=

1

2

，

在Rt△BMD中，tan∠MDB=

BM

DM

=

1

2

，

∴∠PAM=∠MDB．

由题意，要使得在抛物线的对称轴上存在点F，使得△ABE与以B、D、F为顶点的三角形相似，只需要

AB

AF

=

DB

DE1

或

AB

AE

=

DF2

DB

．

∴

4

9 5 4

=

2 5

DF1

，

解得DF1=

45

8

，

∴点F₁ 的坐标为（1，

13

8

）．

或

4

9 5 4

=

DF2

2 5

，

解得 DF2=

32

9

，

∴点F₂ 的坐标为（1，-

4

9

）．

综上，符合题意的F点坐标为F(1，-

4

9

)或F(1，

13

8

)．

（3）∵点G（x，1）在抛物线上

∴点G的坐标为（1±

5

，1），

又∵A、B、G在同一圆上

∴圆心一定在抛物线的对称轴上

∵PA=PA=PG=

5

，

∴点P即为过点A、B、G的圆的圆心

∴点P的坐标为（1，1）．