已知x=0是函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点,且函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为2e2. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式并求单调区间. (Ⅱ)设g(x)=
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(I)f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex
由f′(0)=0得b=-a∴f′(x)=[x2+(a+2)x]ex
又f′(2)=2e2
∴[4+2(a+2)]e2=2e2
故a=-3
令f′(x)=(x2-x)ex≥0得x≤0或x≥1
令f′(x)=(x2-x)ex<0得0<x<1
故:f(x)=(x2-3x+3)gx,单调增区间是(-∞,o],[1,+∞),单调减区间是(0,1).
(Ⅱ)假设方程g(x)=
(m-1)2在区间(-2,m)上存在实数根2 3
设x0是方程g(x)=
(m-1)2的实根,2 3
- x0 = x 20
(m-1)2,2 3
令h(x)=x2-x-
(m-1)2,从而问题转化为证明方程h(x)=x2-x-2 3
(m-1)2=02 3
在(-2,m)上有实根,并讨论解的个数
因为h(-2)=6-
(m-1)2=-2 3
(m+2) (m-4) ,h(m)=m(m-1)-2 3
(m-1)2= 2 3
(m+2)(m-1),1 3
所以
①当m>4或-2<m<1时,h(2)-h(m)<0,所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且只有一解
②当1<m<4时,h(-2)>0且h(m)>0,但由于h(0)=-
(m-1)2 <0,2 3
所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且有两解
③当m=1时,h(x)=x2-x=0⇒x=0或x=1,所以h(x)=0在(-2,m)上有且只有一解;
当m=4时,h(x)=x2-x6=0⇒x=-2或x=3,
所以h(x)=0在(-2,4)上也有且只有一解,
综上所述,对于任意的m>-2,方程g(x)=
(m-1)2在区间(-2,m)上均有实数根2 3
且当m≥4或-2<m≤1时,有唯一的实数解;当1<m<4时,有两个实数解.