问题 解答题
已知x=0是函数f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R)的一个极值点,且函数f(x)的图象在x=2处的切线的斜率为2e2
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式并求单调区间.
(Ⅱ)设g(x)=
f′(x)
ex
,其中x∈[-2,m],问:对于任意的m>-2,方程g(x)=(m-1)2在区间(-2,m)上是否存在实数根?若存在,请确定实数根的个数.若不存在,请说明理由.
答案

(I)f(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex

由f(0)=0得b=-a∴f(x)=[x2+(a+2)x]ex

又f(2)=2e2

∴[4+2(a+2)]e2=2e2

故a=-3

令f(x)=(x2-x)ex≥0得x≤0或x≥1

令f(x)=(x2-x)ex<0得0<x<1

故:f(x)=(x2-3x+3)gx,单调增区间是(-∞,o],[1,+∞),单调减区间是(0,1).

(Ⅱ)假设方程g(x)=

2
3
(m-1)2在区间(-2,m)上存在实数根

设x0是方程g(x)= 

2
3
(m-1)2的实根,
x20
x0 = 
2
3
(m-1)2

h(x)=x2-x-

2
3
(m-1)2,从而问题转化为证明方程h(x)=x2-x-
2
3
(m-1)2=0

在(-2,m)上有实根,并讨论解的个数

因为h(-2)=6-

2
3
(m-1)2=-
2
3
(m+2) (m-4) 
h(m)=m(m-1)-
2
3
(m-1)2
1
3
(m+2)(m-1)

所以

①当m>4或-2<m<1时,h(2)-h(m)<0,所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且只有一解

②当1<m<4时,h(-2)>0且h(m)>0,但由于h(0)=-

2
3
(m-1)2 <0,

所以h(x)=0在(-2,m)上有解,且有两解

③当m=1时,h(x)=x2-x=0⇒x=0或x=1,所以h(x)=0在(-2,m)上有且只有一解;

当m=4时,h(x)=x2-x6=0⇒x=-2或x=3,

所以h(x)=0在(-2,4)上也有且只有一解,

综上所述,对于任意的m>-2,方程g(x)=

2
3
(m-1)2在区间(-2,m)上均有实数根

且当m≥4或-2<m≤1时,有唯一的实数解;当1<m<4时,有两个实数解.

多项选择题
单项选择题