问题 解答题
已知向量
a
=(4x+1 , 2x) , 
b
=(y-1 , y-k) ,
 a
b.

(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)若函数f(x)的最小值为-3,求实数k的值;
(3)若对任意实数x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,求实数k的取值范围.
答案

(1)∵

a
=(4x+1 , 2x) , 
b
=(y-1 , y-k) ,
 a
b.

∴(4x+1)(y-1)+2x(y-k)=0,化简整理得y(4x+2x+1)=4x+k•2x+1

因此,函数y=f(x)的解析式为y=

4x+k•2x+1
4x+2x+1

(2)∵f(x)=

4x+k•2x+1
4x+2x+1
=1+
(k-1)•2x
4x+2x+1

∴根据函数f(x)的最小值为-3,得t=

(k-1)•2x
4x+2x+1
的最小值为-4

∵2x+2-x+1≥2

2x2-x
+1=3

∴当k>1时,

(k-1)•2x
4x+2x+1
=
k-1
2x+2-x+1
k-1
3
;当k<1时,
(k-1)•2x
4x+2x+1
=
k-1
2x+2-x+1
k-1
3

k=1时,函数f(x)=1恒成立不符合题意.

∴结合题意可得k<1,且当且仅当2x=2-x=1,即x=0时,t的最小值为

k-1
3
=-4,解之得k=-11

即函数f(x)的最小值为-3时,实数k的值为-11;

(3)∵对任意实数x1、x2、x3,都存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)为三边长的三角形,

∴f(x1)+f(x2)>f(x3)对任意的x1、x2、x3∈R恒成立.

当k>1时,因为2<f(x1)+f(x2)≤

2k+4
3
且1<f(x3)≤
k+2
3

k+2
3
≤2,解之得1<k≤4;

当k=1时,可得f(x1)=f(x2)=f(x3)=1,满足题意的条件;

当k<1时,因为

2k+4
3
≤f(x1)+f(x2)<2,且
k+2
3
≤f(x3)<1,

2k+4
3
≥1,解之得-
1
2
≤k<1;

综上所述,实数k的取值范围是[-

1
2
,4]

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