（1）因为f′（x）=2ax，…（1分）

而切线2x-4y-1=0的斜率为

1

2

，所以2a=

1

2

，a=

1

4

又图象经过点（2，1），所以4a+c=1，那么c=0，

所以函数f(x)=

1

4

x2…（5分）

（2）设点P（x₀，-1），切点坐标为(t，

1

4

t2)，f′(x)=

1

2

x，

那么切线的斜率为

1

2

t，…（6分）

所以切线方程为y-

1

4

t2=

t

2

(x-t)，整理得到：y=

t

2

x-

1

4

t2，…（8分）

此切线经过点P（x₀，-1），则t²-2x₀t-4=0，…（9分）

再分别设两切点坐标为A(t1，

1

4

t

21

)，B(t2，

1

4

t

22

)，

那么t₁t₂=-4，t₁+t₂=2x₀，…（10分）

又直线AB的斜率KAB=

1 4 t 21 - 1 4 t 22

t1-t2

=

1

4

(t1+t2)，…（11分）

所以直线AB的方程为y-

1

4

t

21

=

1

4

(t1+t2)(x-t1)

整理得到：y=

1

2

x0x-

1

4

t1t2，而t₁t₂=-4，

所以直线AB的方程为y=

1

2

x0x+1，…（13分）

所以直线AB经过定点（0，1）…（14分）