问题 解答题

已知f(x)=x2+C,且f[f(x)]=f(x2+1)

(1)设g(x)=f[(x)],求g(x)的解析式.

(2)设ϑ(x)=g(x)-λf(x),试问是否存在实数λ,使ϑ(x)在(-∞,-1)上是减函数,并且在(-1,0)上是增函数.

答案

(1)由题意可知:

f(x)=x2+C,且f[f(x)]=f(x2+1)

∴(x2+c)2+c=(x2+1)2+c

∴x4+2cx2+c2=x4+2x2+1

2c=2
c2=1
,解得:c=1.

∴f(x)=x2+1,∵g(x)=f[(x)],

∴函数g(x)的解析式为:g(x)=x4+2x2+2.

(2)由(1)可知:f(x)=x2+1、g(x)=x4+2x2+2,

∵ϑ(x)=g(x)-λf(x),

∴θ(x)=x4+(2-λ)x2+2-λ,∴θ′(x)=4x3+2(2-λ)x

假设存在使的ϑ(x)在(-∞,-1)上是减函数,并且在(-1,0)上是增函数.

则θ′(-1)=0

∴-4-2(2-λ)=0,∴λ=4.

此时:θ(x)=x4-2x2-2,∴θ′(x)=4x3-4x.

由θ′(x)>0解得,x∈(-1,0)∪(1,+∞);

由θ′(x)<0解得,x∈(-∞,-1)∪(0,1).

故满足题意.

所以存在λ=4使的ϑ(x)在(-∞,-1)上是减函数,并且在(-1,0)上是增函数.

综合

读某河流上游水库大坝的位置图和剖面图及其河流水量变化图,完成有关问题(13分)

(1)图1中的水库大坝的坝址选择了D处,D处的地形为          ,坝址选择该处的理由是

                                                         。(3分)

(2)按照图1的大坝设计(图距约为0.8㎝),坝长和坝高(坝顶到坝底的相对高度)分别大约是(2分)

A.90m,100m  B.80m,150m   C.72m,50m  D.72m,100m

(3)在图2中观察,大坝上建设水电站,可利用的落差应为H1、H2、H3中的            ,水轮发电机应安装的位置是(A或B)__________ 。(2分)

(4)图3是水库所在河流的流量过程线,下列说法不正确的是(    )(1分)

A.曲线C表示水库大坝下游流量过程       B.曲线D表示水库大坝上游流量过程

C.曲线D表示大坝建成后流量过程         D.曲线D表示大坝建成前流量过程

(5)大坝建成后,对于水库下游的说法正确的是(     )(2分)

A.航运条件改善        B.洪水危害减轻

C.泥沙淤积加重       D.年径流量增加

(6) 经图1中的铁路从山区外运的物产主要有茶叶、柑橘、毛竹等,该地所在的省区简称是(1分)

A.鲁     B.浙    C.青     D.吉

(7)判断在E、F、G三个地点中,能目测到铁路上经过H处火车车辆的是          。理由是_______________________________。(2分)

多项选择题