已知函数f（x）=x3-3ax（a∈R），g（x）=lnx．
（1）当a=1时，求y=g（x）-f（x）在x=1处的切线方程；
（2）若在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，求a的取值范围；
（3）设h（x）=|f（x）|，x∈[-1，1]，求h（x）的最大值F（a）的解析式．
（1）当a=1时，y=g（x）-f（x）=lnx-x3+3x，
当x=1时，y=ln1-13+3×1=2．
y′=-3x2+3，y′|x=1=1．
所以切线方程为y-2=x-1，即x-y+1=0；
（2）∵在区间[1，2]上f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，
∴x3-3ax≥lnx在[1，2]上恒成立，得3a≤x2-在[1，2]上恒成立．
设g（x）=x2-，则g′(x)=2x-=，
∵2x3-1≥0，lnx≥0，∴g′（x）≥0，∴g（x）min=g（1）=1，
∴a≤；
（3）因h（x）=|f（x）|=|x3-3ax|在[-1，1]上是偶函数，故只要求在[0，1]上的最大值．
①当a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在[0，1]上单调递增且f（0）=0，
∴h（x）=f（x），F（a）=f（1）=1-3a．
②当a＞0时，f′(x)=3x2-3a=3(x+)(x-)，
（ⅰ）当≥1，即a≥1时，h（x）=|f（x）|=-f（x），
-f（x）在[0，1]上单调递增，此时F（a）=-f（1）=3a-1
（ⅱ）当0＜＜1，即0＜a＜1时，f（x）在[0，]上单调递减，在[，1]单调递增；
1°当f（1）=1-3a≤0，即≤a＜1时，
h（x）=|f（x）|=-f（x），-f（x）在[0，]上单调递增，在[，1]单调递减，F(a)=-f()=2a；
2°当f（1）=1-3a＞0，即0＜a＜时，
（ⅰ）当-f()≤f(1)=1-3a，即0＜a≤时，F（a）=f（1）=1-3a．
（ⅱ）当-f()＞f(1)=1-3a，即＜a＜时，F(a)=-f()=2a．
综上 F(x)= | | 1-3a，(a≤) | | 2a，(＜a＜1) | | 3a-1，(a≥1) |
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