问题 解答题
对定义域分别是Df、Dg的函数y=f(x),y=g(x),规定:函数h(x)=
f(x)•g(x)    当x∈Df且x∈Dg
1      当x∈Df且x∉Dg
-1   当x∉Df且x∈Dg

(1)若f(α)=sinα•cosα,g(α)=cscα,写出h(α)的解析式;
(2)写出问题(1)中h(α)的取值范围;
(3)若g(x)=f(x+α),其中α是常数,且α∈[0,π],请设计一个定义域为R的函数y=f(x),及一个α的值,使得h(x)=cos4x,并予以证明.
答案

(1)根据题意得:h(α)=

cosα   (α≠kπ,k∈Z)
1  (α=kπ,k∈Z)

(2)h(α)的取值范围是(-1,1];

(3)令f(x)=sin2x+cos2x,α=

π
4

g(x)=f(x+α)=sin2(x+

π
4
)+cos2(x+
π
4
)=cos2x-sin2x,

则h(x)=f(x)f(x+α)=(sin2x+cos2x)(cos2x-sin2x)=cos4x.

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