对定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=f

问题解答题

对定义域分别是D_f、D_g的函数y=f（x），y=g（x），规定：函数h（x）=

f(x)•g(x) 当x∈Df且x∈Dg

1 当x∈Df且x∉Dg

-1 当x∉Df且x∈Dg

．
（1）若f（α）=sinα•cosα，g（α）=cscα，写出h（α）的解析式；
（2）写出问题（1）中h（α）的取值范围；
（3）若g（x）=f（x+α），其中α是常数，且α∈[0，π]，请设计一个定义域为R的函数y=f（x），及一个α的值，使得h（x）=cos4x，并予以证明．

答案

（1）根据题意得：h（α）=

cosα (α≠kπ，k∈Z)

1 (α=kπ，k∈Z)

；

（2）h（α）的取值范围是（-1，1]；

（3）令f（x）=sin2x+cos2x，α=

，

g（x）=f（x+α）=sin2（x+

）+cos2（x+

）=cos2x-sin2x，

则h（x）=f（x）f（x+α）=（sin2x+cos2x）（cos2x-sin2x）=cos4x．