问题 解答题

已知函数f(x)=ln(ex+a)(a>0)。

(1)求函数y=f(x)的反函数y=f-1(x)及f(x)的导数f′(x);

(2)假设对任意x∈[ln(3a),ln(4a)],不等式|m-f-1(x)|+ln(f′(x))<0成立,求实数m的取值范围。

答案

解:(1)设y=ln(ex+a),a>0,

则ey=ex+a,

∴ex=ey-a,a>0,

∴x=ln(ey-a),x,y互换得到函数y=f(x)的反函数

f-1(x)=ln(ex-a),x∈R;

f′(x)=

(2)由|m-f-1(x)|+ln(f'(x))<0得ln(ex-a)-ln(ex+a)+x<m<ln(ex-a)+ln(ex+a)-x

设φ(x)=ln(ex-a)-ln(ex+a)+x,ψ(x)=ln(ex-a)+ln(ex+a)-x,

于是原不等式对于x∈[ln(3a),ln(4a)]恒成立等价于φ(x)<m<ψ(x)①

注意到

故有

从而φ(x)与ψ(x)均在[ln(3a),ln(4a)]上单调递增

因此不等式①成立当且仅当

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