解 （I）∵f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）

∴f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0）

依题意有

f′(-1)=0 f′(2)=0

，

∴

3a-2b-a2=0 12a+4b-a2=0

(a＞0)．

解得

a=6 b=-9

，

∴f（x）=6x³-9x²-36x．

（II）∵f'（x）=3ax²+2bx-a²（a＞0），

依题意，x₁，x₂是方程f'（x）=0的两个根，且|x1|+|x2|=2

2

，

∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂+2|x₁x₂|=8．

∴(-

2b

3a

)2-2•(-

a

3

)+2|-

a

3

|=8，

∴b²=3a²（6-a）．

∵b²≥0，

∴0＜a≤6．

设p（a）=3a²（6-a），则p'（a）=-9a²+36a．

由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．

即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，

∴当a=4时，p（a）有极大值为96，

∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，

∴b的最大值为4

6

．

（III）证明：∵x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根，

∴f'（x）=3a（x-x₁）（x-x₂）．

∵x1•x2=-

a

3

，x₂=a，

∴x1=-

1

3

．

∴|g(x)|=|3a(x+

1

3

)(x-a)-a(x+

1

3

)|=|a(x+

1

3

)[3(x-a)-1]|

∵x₁＜x＜x₂，即-

1

3

＜x＜a．

∴|g(x)|=a(x+

1

3

)(-3x+3a+1)

∴|g（x）|=-3a(x+

1

3

)(x-

3a+1

3

)=-3a(x-

a

2

)2+

3a3

4

+a2+

1

3

a≤

3a3

4

+a2+

1

3

a=

a(3a+2)2

12

．

∴|g（x）|≤

a

12

(3a+2)2成立．