问题
解答题
| 已知函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4），且f（x）在[0，4]上的最大值是8， （1）求f（x）的解析式． （2）若g(x)=
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答案
（1）∵函数f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（2，4）
∴可设f（x）=a（x-2）（x-4）（其中a＞0）
∴f（x）图象的对称轴为x=3
∴f（x）在[0，4]上的最大值是f（0）
∵f（x）在[0，4]上的最大值是8
∴f（0）=8a=8
∴a=1
∴f（x）=x2-6x+8
（2）方程f（x）=g（x）恒等变形为x3-6x2+9x-k=0（x≠0）
设F（x）=x3-6x2+9x（x∈R）
则F′（x）=3x2-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴当x∈（-∞，1）∪（3，+∞）时，F'（x）＞0
当x∈（1，3）时，F′（x）＜0
∴F（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上递减
∴当x=1时，F（x）取得极大值4
当x=3时，F（x）取得极小值0
又∵F（0）=0
∴当方程x3-6x2+9x-k=0（x≠0）有且只有一个根时k≤0或k＞4