问题
解答题
| 已知三个正数a，b，c满足a＜b＜c． （1）若a，b，c是从{
（2）若a，b，c是从（0，1）中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率． |
答案
（1）若a，b，c能构成三角形，则a+b＞c，c≥
．4 10
①若c=
时，b=4 10
，a=3 10
．共1种；2 10
②若c=
时．b=5 10
，a=4 10
，3 10
．共2种；2 10
同理c=
时，有3+1=4种；c=6 10
时，有4+2=6种；c=7 10
时，有5+3+1=9种；c=8 10
时，有6+4+2=12种．9 10
于是共有1+2+4+6+9+12=34种．
下面求从{
，1 10
，…2 10
}中任取的三个数a，b，c（a＜b＜c）的种数：9 10
①若a=
，b=1 10
，则c=2 10
，…，3 10
，有7种；b=9 10
，c=3 10
，…，4 10
，有6种；b=9 10
，c=4 10
，…，5 10
，有5种；…； b=9 10
，c=8 10
，有1种．9 10
故共有7+6+5+4+3+2+1=28种．
同理，a=
时，有6+5+4+3+2+1=21种；a=2 10
时，有5+4+3+2+1=15种；a=3 10
时，有4+3+2+1=10种；a=4 10
时，有3+2+1=6种；a=5 10
时，有2+1=3种；a=6 10
时，有1种．这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种．7 10
∴a，b，c能构成三角形的概率为
=34 84
．17 42
（2）a，b，c能构成三角形的充要条件是
．0＜a＜b＜c＜1 a+b＞c 0＜c＜1
在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域（如右图阴影部分），
由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可．
又S阴影=
，于是所要求的概率为P=1 2
=1 2 1
．1 2
