问题
解答题
已知a，x∈R，函数f(x)=sin2x-(2
（1）设t=sinx+cosx，把函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）表达式和定义域； （2）对任意x∈[0，
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答案
（1）∵t=sinx+cosx=
sin(x+2
)∈[-π 4
，2
]，2
又t2=sin2x+cos2x+2sinxcosx，
∴sinxcosx=
．t2-1 2
∵f(x)=2sinxcosx-(2+a)(sinx+cosx)-
．4 sinx+cosx
∴f(x)=g(t)=t2-(2+a)t-
-1，定义域：[-4 t
，0)∪(0，2
]．2
（2）∵x∈[0，
]，∴t=sinx+cosx=π 2
sin(x+2
)∈[1，π 4
]，2
∵函数f（x）＞-3-2a恒成立，∴t2-(2+a)t-
-1＞-3-2a恒成立，4 t
得：t2-2t-
+2＞(t-2)a，4 t
∵t-2＜0，∴a＞
-t2-2t t-2
=t+4-2t t(t-2)
=p(t)，2 t
设1≤t1≤t2≤
，∵p(t2)-p(t1)=(t2-t1)(2
)＜0，t1t2-2 t1t2
∴函数p（t）在[1，
]上是递减函数，2
∴a＞pmax（x）=p（1）=3．