问题 解答题
设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)满足:∀x∈R都有f(x)+f(-x)=0,且x=1时,f(x)取极小值-
2
3

(1)f(x)的解析式;
(2)当x∈[-1,1]时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直:
(3)设F(x)=|xf(x)|,证明:x∈(0,
3
)
时,F(x)≤
3
4
答案

(1)因为,∀x∈R,f(-x)=-f(x)成立,所以:b=d=0,

由:f'(1)=0,得3a+c=0,

由:f(1)=-

2
3
,得a+c=-
2
3
(3分)

解之得:a=

1
3
,c=-1从而,

函数解析式为:f(x)=

1
3
x3-x(5分)

(2)由于,f'(x)=x2-1,

设:任意两数x1,x2∈[-1,1]是函数f(x)图象上两点的横坐标,

则这两点的切线的斜率分别是:k1=f'(x1)=x12-1,k2=f'(x2)=x22-1

又因为:-1≤x1≤1,-1≤x2≤1,所以,k1≤0,k2≤0,得:k1k2≥0知:k1k2≠-1

故,当x∈[-1,1]是函数f(x)图象上任意两点的切线不可能垂直(10分)

(3)当:x∈(0,

3
)时,x2∈(0,3)且3-x2>0此时F(x)=|xf(x)|=|x(
1
3
x3-x)|
=
1
3
x2(3-x2)
1
3
×(
x2+3-x2
2
)2
=
3
4

当且仅当:x2=3-x2,即x=

6
2
∈(0,
3
),取等号,故;F(x)≤
3
4
(14分)

单项选择题 A1/A2型题
单项选择题 A1/A2型题