（1）因为，∀x∈R，f（-x）=-f（x）成立，所以：b=d=0，

由：f'（1）=0，得3a+c=0，

由：f(1)=-

2

3

，得a+c=-

2

3

（3分）

解之得：a=

1

3

，c=-1从而，

函数解析式为：f(x)=

1

3

x3-x（5分）

（2）由于，f'（x）=x²-1，

设：任意两数x₁，x₂∈[-1，1]是函数f（x）图象上两点的横坐标，

则这两点的切线的斜率分别是：k₁=f'（x₁）=x₁²-1，k₂=f'（x₂）=x₂²-1

又因为：-1≤x₁≤1，-1≤x₂≤1，所以，k₁≤0，k₂≤0，得：k₁k₂≥0知：k₁k₂≠-1

故，当x∈[-1，1]是函数f（x）图象上任意两点的切线不可能垂直（10分）

（3）当：x∈(0，

3

)时，x²∈（0，3）且3-x²＞0此时F（x）=|xf（x）|=|x(

1

3

x3-x)|=

1

3

x2(3-x2)≤

1

3

×(

x2+3-x2

2

)2=

3

4

当且仅当：x²=3-x²，即x=

6

2

∈(0，

3

)，取等号，故；F(x)≤

3

4

（14分）