问题
解答题
设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)满足:∀x∈R都有f(x)+f(-x)=0,且x=1时,f(x)取极小值-
(1)f(x)的解析式; (2)当x∈[-1,1]时,证明:函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直: (3)设F(x)=|xf(x)|,证明:x∈(0,
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答案
(1)因为,∀x∈R,f(-x)=-f(x)成立,所以:b=d=0,
由:f'(1)=0,得3a+c=0,
由:f(1)=-
,得a+c=-2 3
(3分)2 3
解之得:a=
,c=-1从而,1 3
函数解析式为:f(x)=
x3-x(5分)1 3
(2)由于,f'(x)=x2-1,
设:任意两数x1,x2∈[-1,1]是函数f(x)图象上两点的横坐标,
则这两点的切线的斜率分别是:k1=f'(x1)=x12-1,k2=f'(x2)=x22-1
又因为:-1≤x1≤1,-1≤x2≤1,所以,k1≤0,k2≤0,得:k1k2≥0知:k1k2≠-1
故,当x∈[-1,1]是函数f(x)图象上任意两点的切线不可能垂直(10分)
(3)当:x∈(0,
)时,x2∈(0,3)且3-x2>0此时F(x)=|xf(x)|=|x(3
x3-x)|=1 3
x2(3-x2)≤1 3
×(1 3
)2=x2+3-x2 2 3 4
当且仅当:x2=3-x2,即x=
∈(0,6 2
),取等号,故;F(x)≤3
(14分)3 4