问题
解答题
已知定义在R上的奇函数f(x)=
（1）求函数f（x）的解析式； （2）若函数f（x）在区间（m，m+2）上是增函数，求实数m所有取值的集合； （3）当x1，x2∈R时，求f′（x1）-f′（x2）的最大值． |
答案
（1）∵f(x)=
是奇函数，∴f（0）=0，求得b=0，4x+b ax2+1
又∵f′(x)=
，且f（x）在点x=1处取得极值，4(ax2+1)-4x•2ax (ax2+1)2
∴f′（1）=0，解得a=1，故f(x)=
．4x x2+1
（2）∵f′(x)=
，由f′（x）＞0得，-1＜x＜1，-4(x-1)(x+1) (x2+1)2
∴f（x）的单调递增区间为（-1，1）．
若f（x）在区间（m，m+2）上是增函数，则有m=-1．
即m取值的集合为{-1}．
（3）∵f′(x)=
=4[-4(x-1)(x+1) (x2+1)2
-2 (x2+1)2
]，1 x2+1
令t=
，则f′(x)=g(t)=4(2t2-t)=8(t-1 x2+1
)2-1 4
，t∈(0，1]，1 2
∴f′(x)∈[-
，4]，1 2
∴f′(x1)-f′(x2)≤4-(-
)=1 2
，9 2
∴f′（x1）-f′（x2）的最大值为
．9 2