（I）证明：∵

an+1

an

=kn+1，

∴

a2

a1

=a2=k+1，

又∵a1=1，an+1an-1=anan-1+an2(n∈N+，n≥2)

则a₃a₁=a₂a₁+a22，即

a3

a2

=a2+1，又

a3

a2

=2k+1，∴a₂=2k．

∴k+1=2k，解得k=1．

（2）∵

an+1

an

=n+1，∴an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

•a1=n•（n-1）…2•1=n!

∵g(x)=

anxn-1

(n-1)!

=nx^n-1

∴当x=1时，f(x)=f(1)=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，

当x≠1时，f（x）=1+2x+3x²+…+nx^n-1．

得xf（x）=x+2x²+3x³+…+（n-1）x^n-1+nxⁿ

两式相减得（1-x）f（x）=1+x+x²+…+x^n-1-nxⁿ=

1-xn

1-x

-nxn

∴f（x）=

1-xn

(1-x)2

-

nxn

1-x

综上所述：f(x)=

n(n+1) 2 ，x=1 1-xn (1-x)2 - nxn 1-x ，x≠1

．

（3）利用（2）中f（x）的表达式，取x=2，

则f(2)=

1-2n

(1-2)2

-

n•2n

1-2

=（n-1）•2ⁿ+1，

又

3

n

g(3)=3n，下面利用数学归纳法证明：不等式f(2)＜

3

n

g(3)对n∈N₊恒成立．

易验证当n=1，2，3时不等式恒成立； 

假设n=k（k≥3），不等式成立，即3^k＞（k-1）2^k+1

两边乘以3得：3^k+1＞3（k-1）2^k+3=k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2

又因为3（k-1）2^k-k•2^k+1+2=2^k（3k-3-2k）+2=（k-3）2^k+2＞0

所以3^k+1＞k•2^k+1+1+3（k-1）2^k-k2^k+1+2＞k•2^k+1+1

即n=k+1时不等式成立．

故不等式恒成立．