（Ⅰ）在f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）cos2x₂+4asin²x₂中，

分别令

x1=0 x2=x

；

x1= π 4 +x x2= π 4

；

x1= π 4 x2= π 4 +x

得

f(x)+f(-x)=2cos2x+4asin2x① f( π 2 +x)+f(x)=2a② f( π 2 +x)+f(-x)=2cos( π 2 +2x)+4asin2( π 4 +x)③

由①+②-③，得

2f（x）=2a+2cos2x-2cos（

π

2

+2x）+4a（

1-cos2x

2

）-4a（

1-cos2( π 4 +x)

2

）

=2a+2（cos2x+sin2x）-2a（cos2x+sin2x）

∴f（x）=a+

2

（1-a）sin（2x+

π

4

）

（Ⅱ）当x∈[0，

π

4

]时，则

π

4

≤2x≤

3π

4

，∴sin（2x+

π

4

）∈[

2

2

，1]．

∵|f（x）|≤2，

（1）当a＜1时，-2≤a+

2

[

2

2

（1-a）]≤f（x）≤a+

2

（1-a）≤2．

即1-

2

≤（1-

2

）a≤2-

2

，解得-

2

≤a≤1，

故a的取值范围[-

2

，1）．

（2）当a≥1时，-2≤a+

2

（1-a）≤f（x）≤1．即-2-

2

≤（1-

2

）a≤1-

2

，

解得1≤a≤4+3

2

．

综上，满足条件a的取值范围[-

2

，4+3

2

]．