问题
解答题
已知函数y=f（x）的反函数。定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f-1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”。
（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；
（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”。求y=f（x）的表达式。
答案
解：（1）函数
的反函数是
，
∴
，
而
，其反函数为
，
故函数
不满足“1和性质”；
（2）设函数
满足“2和性质”，k≠0，
∴
，
而
，
由“2和性质”定义可知
对x∈R恒成立，
∴k=-1，b∈R，即所求一次函数为f（x）=-x+b（b∈R）。
（3）设a＞0，x0＞0，且点
在y=f（ax）图像上，
则
在函数
图象上，
故
，可得
，
令
，
∴
；
综上所述，
，
，
其反函数就是
，
而
，
故y=f（ax）与
互为反函数。