求下列函数的反函数 (1)f(x)=
|
(1)∵y=f(x)=
(x≤-1),x2+x
∴x2+x-y2=0,x≤-1,且y≥0.
∴x=
,-1- 1+4y2 2
x,y互换,得f(x)=
(x≤-1)的反函数为y=x2+x
,x≥0;-1- 1+4x2 2
(2)y=x|x|+2x,
当x≥0时,y=x2+2x,且y≥0,
x=
=-1+-2+ 4+4y 2
,1+y
x,y互换,得y=x2+2x的反函数为x=-1+
,x≥0.1+x
当x<0时,y=-x2+2x,且y<0,
x=
=-1--2- 4-4y 2
,1-y
x,y互换,得y=-x2+2x的反函数为y=-1-
,x<0.1-x
∴y=x|x|+2x的反函数为y=
;-1+
,x≥01+x -1-
,x<01-x
(3)f(x)=
,x2-1(0≤x≤1) x2(-1≤x<0)
当0≤x≤1时,y=x2-1∈[-1,0],
x2=y+1,
x=
,y+1
x,y互换,得y=x2-1∈[-1,0]的反函数为y=
,-1≤x≤0.x+1
当-1≤x<0时,y=x2∈(0,1],
x=-
,y
x,y互换,得y=x2∈(0,1]的反函数为y=-
,0<x≤1.x
∴f(x)=
的反函数f-1(x)=x2-1(0≤x≤1) x2(-1≤x<0)
;
,-1≤x≤0x+1 -
,0<x≤1x
(4)∵y=x3-3x2+3x+1,
∴y-2=x3-3x2+3x-1=(x-1)3,
x-1=(y-2)
,1 3
∴x=(y-2)
+1,1 3
∴y=x3-3x2+3x+1的反函数是y=(x-2)
+1,x∈R;1 3
(5)∵y=log2(x2+1)(x<0)
∴x2+1=2y,且y>0
x2=2y-1,
x=-
,2y-1
x,y互换,得y=log2(x2+1)(x<0)的反函数为y=-
,x>0.2x-1