问题 解答题
求下列函数的反函数 (1)f(x)=
x2+x
(x≤-1)
;(2)y=x|x|+2x;(3)f(x)=
x2-1(0≤x≤1)
x2(-1≤x<0)
;(4)y=x3-3x2+3x+1;(5)y=log2(x2+1)(x<0)
答案

(1)∵y=f(x)=

x2+x
(x≤-1),

∴x2+x-y2=0,x≤-1,且y≥0.

x=

-1-
1+4y2
2

x,y互换,得f(x)=

x2+x
(x≤-1)的反函数为y=
-1-
1+4x2
2
,x≥0;

(2)y=x|x|+2x,

当x≥0时,y=x2+2x,且y≥0,

x=

-2+
4+4y
2
=-1+
1+y

x,y互换,得y=x2+2x的反函数为x=-1+ 

1+x
,x≥0.

当x<0时,y=-x2+2x,且y<0,

x=

-2-
4-4y
2
=-1-
1-y

x,y互换,得y=-x2+2x的反函数为y=-1-

1-x
,x<0.

∴y=x|x|+2x的反函数为y=

-1+
1+x
,x≥0
-1-
1-x
,x<0

(3)f(x)=

x2-1(0≤x≤1)
x2(-1≤x<0)

当0≤x≤1时,y=x2-1∈[-1,0],

x2=y+1,

x=

y+1

x,y互换,得y=x2-1∈[-1,0]的反函数为y=

x+1
,-1≤x≤0.

当-1≤x<0时,y=x2∈(0,1],

x=-

y

x,y互换,得y=x2∈(0,1]的反函数为y=-

x
,0<x≤1.

f(x)=

x2-1(0≤x≤1)
x2(-1≤x<0)
的反函数f-1(x)=
x+1
,-1≤x≤0
-
x
,0<x≤1

(4)∵y=x3-3x2+3x+1,

∴y-2=x3-3x2+3x-1=(x-1)3

x-1=(y-2) 

1
3

∴x=(y-2) 

1
3
+1,

∴y=x3-3x2+3x+1的反函数是y=(x-2)

1
3
+1,x∈R;

(5)∵y=log2(x2+1)(x<0)

∴x2+1=2y,且y>0

x2=2y-1,

x=-

2y-1

x,y互换,得y=log2(x2+1)(x<0)的反函数为y=-

2x-1
,x>0.

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