问题 选择题
设函数f(x)=ax+
x
x-1
(x>1),若a是从-1,0,1,2四数中任取一个,b是从1,2,3,4,5五数中任取一个,那么f(x)>b恒成立的概率为(  )
A.
1
2
B.
7
20
C.
2
5
D.
9
20
答案

当a=-1时,函数f(x)=ax+

x
x-1
=-x+
1
x-1
=-x+
x-1+1
x-1
=1-x+
1
x-1
,由于函数f(x)的导数f′(x)=-1-
1
(x-1)2
<0,

故函数f(x)在(1,+∞)上是减函数,f(2)=0,故当x>2时,f(x)<0.

而b是从1,2,3,4,5五数中任取一个,显然不满足当x>1时,f(x)>b恒成立.

∵函数f(x)=ax+

x
x-1
(x>1),当a>0时,

∴f(x)=ax+

x-1+1
x-1
=ax+1+
1
x-1
=a(x-1)+
1
x-1
+a+1≥2
a
+a+1=(
a
+1)
2

当且仅当a(x-1)+

1
x-1
时,等号成立,故f(x)min=(
a
+1)
2

于是f(x)>b恒成立就转化为(

a
+1)2>b,

当a=0时,函数f(x)=1+

1
x-1
>1,由f(x)>b恒成立可得,只有b=1.

设事件A:“f(x)>b恒成立”,则基本事件总数(a,b)为20个:

(-1,1)、(-1,2)、(-1,3)、(-1,4)、(-1,5)、

(0,1),(0,2),(0,3),(0,4);(0,5),(1,1),(1,2),(1,3),

(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5).

事件A包含事件:(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(2,5),共9个.

故f(x)>b恒成立的概率为

9
20

故选D.

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