问题 解答题

设有关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.

(1)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为a,第二次出现的点数为b.求上述方程有实根的概率;

(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

答案

记事件A=“方程x2+2ax+b2=0有实根”.

由△=(2a)2-4b2≥0,得:a2≥b2

所以,当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根⇔a≥b(2分)

(1)基本事件共6×6=36个,

其中事件A包含21个基本事件:

(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),

(4,2),(4,3),(4,4)(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),

(5,5),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)

所以P(A)=

21
36
=
7
12
(6分)

(2)全部结果所构成的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2},

其面积为S=3×2=6.

又构成事件A的区域为{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},

其面积为S′=3×2-

1
2
×22=4,

所以 P(A)=

4
6
=
2
3
(10分)

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