问题
解答题
已知函数f(x)=log
（1）当x∈[
（2）求关于x的函数y=[g（x）]2-2ag（x）+3（a≤3）当x∈[-1.1]时的最小值h（a）； （3）我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q）使得函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]． （Ⅰ）判断（2）中h（x）是否为“和谐函数”？若是，求出p，q的值或关系式；若不是，请说明理由； （Ⅱ）若关于x的函数y=
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答案
（1）由y=log
x得x=(1 3
)y1 3
∴f-1(x)=(
)x(-1≤x≤1)1 3
（2）令t=f-1（x），x∈[-1，1]．由（1）知t∈[
，3]．1 3
∴函数y=[f-1（x）]2-2a[f-1（x）]+3=t2-2at+3 (
≤t≤3)1 3
对称轴x=a（a≤3）
①a≤
时，ymin=(1 3
)2-1 3
+3=2a 3
-28 9 2a 3
②
＜a≤3，ymin=a2-2a2+3=3-a2．1 3
∴g(a)=
．
- 28 9
(a≤2a 3
)1 3 3-a2(
＜a≤3)1 3
（3）对（2）中g(a)=
，
-28 9
(a≤2a 3
)1 3 3-a2(
＜a≤3)1 3
易知g（x）在（-∞，3]上单减．
（3）（I）若g（x）为“和谐函数”，则g（x）在（-∞，3]上存在区间[p，q]（p＜q），使得g（x）在区间[p，q]
上的值域为[p2，q2]．
①若p＜q≤
，g（x）递减，1 3
得p+q=
-28 9
= q22p 3
-28 9
=p22q 3
，2 3
这与p＜q≤
矛盾．1 3
②
≤p＜q≤3时1 3
恒成立3-p2=q2 3-q2=p2
此时p、q、满足
，这样的p，q存在．p2+q2=3
≤p＜q≤31 3
③p＜
，1 3
＜q≤3时，解得p=1 3
矛盾 1 3
∴（2）中g（x）是“和谐函数”，p、q满足p2+q2=3
≤p＜q≤31 3
（II）∵y=
+t在[1，+∞）递增，有和谐函数的定义知，该函数在定义域[1，+∞）内，存在区间[p，q]（p＜q），使得该函数在区间[p，q]上的值域为[p2，q2]x2-1
