在R上定义运算:p⊗q=-
①如果函数f(x)在x=1处有极值-
②求曲线y=f(x)上斜率为c的切线与该曲线的公共点; ③记g(x)=|f′(x)|(-1≤x≤1)的最大值为M,若M≥k对任意的b、c恒成立,试求k的取值范围.(参考公式:x3-3bx2+4b3=(x+b)(x-2b)2) |
①依题意f(x)=-
x3+bx2+cx+bc,1 3
解f(1)=- 4 3 f/(1)=0
得
或b=1 c=-1
.b=-1 c=3
若
,f(x)=-b=1 c=-1
x3+x2-x-1,1 3
′(x)=-x2+2x-1=-(x-1)2≤0f(x)在R上单调递减,
在x=1处无极值;若
,f(x)=-b=-1 c=3
x3-x2+3x-3,1 3
f′(x)=-x2-2x+3=-(x-1)(x+3),直接讨论知,
f(x)在x=1处有极大值,所以
为所求.b=-1 c=3
②解f′(t)=c得t=0或t=2b,切点分别为(0,bc)、(2b,3bc+
b3),4 3
相应的切线为y=cx+bc或y=cx+bc+
b3.4 3
解cx+bc=-
x3+bx2+cx+bc1 3
得x=0或x=3b;
解cx+bc+
b3=-4 3
x3+bx2+cx+bc1 3
即x3-3bx2+4b3=0
得x=-b或x=2b.
综合可知,b=0时,斜率为c的切线只有一条,与曲线的公共点只有(0,0),b≠0时,
斜率为c的切线有两条,与曲线的公共点分别为(0,bc)、(3b,4bc)和
(2b,
b 3+3bc)、(-b,4 3
b3).4 3
③g(x)=|-(x-b)2+b2+c|.若|b|>1,则f′(x)在[-1,1]是单调函数,
M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|}={|-1+2b+c|,|-1-2b+c|},
因为f′(1)与f′(-1)之差的绝对值|f′(1)-f′(-1)|=|4b|>4,所以M>2.
若|b|≤1,f′(x)在x=b∈[-1,1]取极值,
则M=max{|f′(-1)|,|f′(1)|,|f′(b)|},f′(b)-f′(±1)=(b∓1)2.
若-1≤b<0,f′(1)≤f′(-1)≤f′(b
M=max{|f/(1)|,|f/(b)|}≥
|f/(1)-f/(b)|=1 2
(b-1)2>1 2
;1 2
若0≤b≤1,f′(-1)≤f′(1)≤f′(b),
M=max{|f′(-1)|,|f′(b)|}≥
|f/(-1)-f/(b)|=1 2
(b+1)2≥1 2
.1 2
当b=0,c=
时,g(x)=|f/(x)|=|-x2+1 2
|在[-1,1]上的最大值M=1 2
.1 2
所以,k的取值范围是(-∞,
].1 2