问题
解答题
设不等式x2+y2≤4确定的平面区域为U，|x|+|y|≤1确定的平面区域为V．
（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V的概率；
（2）在区域U内任取3个点，记这3个点在区域V的个数为X，求X的分布列和数学期望．
答案
（1）依题可知平面区域U的整点为（0，0），（0，±1），（0，±2），（±1，0），（±2，0），（±1，±1）共有13个，
平面区域V的整点为（0，0），（0，±1），（±1，0）共有5个，
∴P=
=
．C 25 C 18 C 313 40 143
（2）依题可得：平面区域U的面积为：π•22=4π，平面区域V的面积为：
×2×2=2，1 2
在区域U内任取1个点，则该点在区域V内的概率为
=2 4π
，1 2π
易知：X的可能取值为0，1，2，3，
且P(X=0)=
•(C 03
)0•(1-1 2π
)3=1 2π
，P(X=1)=(2π-1)3 8π3
•(C 13
)1•(1-1 2π
)2=1 2π
，P(X=2)=3(2π-1)2 8π3
•(C 23
)2•(1-1 2π
)1=1 2π
，P(X=3)=3(2π-1) 8π3
•(C 33
)3•(1-1 2π
)3=1 2π 1 8π3
∴X的分布列为：
| X | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
| P |
|
|
|
|
| (2π-1)3 |
| 8π3 |
| 3(2π-1)2 |
| 8π3 |
| 3(2π-1) |
| 8π3 |
| 1 |
| 8π3 |
| 3 |
| 2π |
（或者：X\～B(3，
)，故EX=np=3×1 2π
=1 2π
．3 2π