问题
解答题
已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
答案
（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（-2，1）．
（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则
，k≥0 1+2k≥0
解得k的取值范围是k≥0．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为-
，在y轴上的截距为1+2k，1+2k k
∴A（-
，0），B（0，1+2k），1+2k k
又-
＜0且1+2k＞0，1+2k k
∴k＞0，故S=
|OA||OB|=1 2
×1 2
（1+2k）1+2k k
=
（4k+1 2
+4）≥1 k
（4+4）=4，1 2
当且仅当4k=
，即k=1 k
时，取等号，1 2
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x-2y+4=0．
