问题
填空题
已知正数x，y满足（1+x）（1+2y）=2，则4xy+
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答案
设m=x+1 n=2y+1 所以mn=2
x=1-m，y=1-n 2
4xy+
=2（m-1）（n-1）+1 xy 2 (m-1)(n-1)
=2（（mn-m-n+1）+
）1 mn-m-n+1
=2（（3-m-n）+
）1 3-m-n
∵m+n≥2
=2mn 2
∴原式的最小值为12
方法二：
∵（1+x）（1+2y）=2，
∴1+x+2y+2xy=2
即x+2y=1-2xy≥22xy
令
=t＞则xy=2xy t2 2
即1-t2≥2t 则0＜t≤
-1，则0＜t2=2xy≤3-22 2
不妨令u=2xy∈（0，3-2
]2
则4xy+
=2u+1 xy
，在区间（0，3-22 u
]上单调递减2
故当u=3-2
时4xy+2
取最小值121 xy
故答案为：12