a，b，c∈R⁺，

∵（ a+b+c ） （

1

a

+

1

b+c

）=2+

b+c

a

+

a

b+c

≥2+2

b+c a × a b+c

=4，等号当且仅当

b+c

a

=

a

b+c

时成立

又a，b，c∈R⁺，若（ a+b+c ） （

1

a

+

1

b+c

）≥k恒成立，

∴k≤4

故答案为4