已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c

问题解答题

已知a，b，c是不全相等的正数，求证：（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）＞16abc．

答案

证明：∵ab+a+b+1=（a+1）•（b+1），ab+ac+bc+c²=（a+c）•（b+c），

∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）=（a+1）•（b+1）•（a+c）•（b+c），

∵a，b，c是正数，

∴a+1≥2

＞0，b+1≥2

＞0，a+c≥2

＞0，b+c≥2

＞0，

又a，b，c是不全相等的正数，

∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）＞2

×2

=16abc，

∴（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c²）＞16abc．