问题
填空题
已知正实数x，y满足等式x+y+8=xy，若对任意满足条件的x，y，都有不等式（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是______．
答案
∵正实数x，y满足等式x+y+8=xy
∴x+y+8≤(x+y)2 4
∴（x+y-8）（x+y+4）≥0
∵x+y+4≥0
∴x+y-8≥0
∴x+y≥8（当且仅当x=y=4时，取等号）
∵对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式（x+y）2-a（x+y）+1≥0
∴a≤(x+y)+
对任意满足条件的正实数x，y恒成立1 x+y
令t=x+y（t≥8），则f（t）=t+
在（8，+∞）上为单调增函数1 t
∴f（t）=t+
≥8+1 t
=1 8
（当且仅当t=8，即x=y=4时，取等号）65 8
∴a≤65 8
∴实数a的取值范围是（-∞，
]65 8
故答案为：（-∞，
]65 8