问题
解答题
| 国际上钻石的重量计量单位为克拉，已知某种钻石的价值v（美元）与其重量w（克拉）的平方成正比，且一颗重为3克拉的该种钻石的价值为54000美元． （I）写出v关于w的函数关系式； （II）若把一颗钻石切割成重量比为1：x（x≥1）的两颗钻石，价值损失的百分率为y，写出y关于x的函数关系式； （III）试证明：把一颗钻石切割成两颗钻石时，按重量比为1：1切割，价值损失的百分率最大． （注：价值损失的百分率=
|
答案
（Ⅰ）依题意设v=kw2，又当w=3时，v=54000，∴k=6000，故v=kw2=6000w2（w＞0）；
（II）设这颗钻石的重量为a克拉，则按重量比为1：x切割后的价值为6000（
a）2+6000（1 1+x
a）2，x 1+x
价值损失为6000a2-[6000（
a）2+6000（1 1+x
a）2]x 1+x
∴价值损失的百分率为y={6000a2-[6000（
a）2+6000（1 1+x
a）2]}÷6000a2×100%=x 1+x 2x (1+x)2
∴y=
（x≥1）；2x (1+x)2
（III）证明：由（II）y=
=2x (1+x)2 2
+2+x1 x
∵x≥1，∴
+x≥21 x
∴
≤2
+2+x1 x
，等号当且仅当x=1时成立，此时y有最大值1 2
．1 2
故当重量比为1：1时，价值损失的百分率达到最大．